BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Belajar ilmu matematika merupakan hal yang sangat penting dan harus di jalani oleh setiap manusia.Dengan Ilmu Matematika kita mengetahui adanya geometri dan geometri transformasi. Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ukuran bumi“. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, sinar garis dan kesejajaran. Geometri transformasi merupakan suatu bab yang membahas mengenai perpindahan suatu titik pada bidang dimensi dua atau datar. Transformasi meliputi refleksi,rotasi.dilatasi,translasi.Dimana refleksi adalah pencerminan, yaitu proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri). Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu.

Maka dari itu penulis akan membahas tentang geometri transformasi yang didalamnya memuat refleksi(pencerminan) ,rotasi (perputaran) dan geometri yang memuat tentang titik, garis, sinar garis, kesejajaran dan sudut.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan titik ?

2. Jelaskan konsep garis dalam matematika !

3. Apa yang dimaksud sinar garis ?

4. Bagaimanakah konsep kesejajaran itu ?

5. Apa yang dimaksud dengan sudut ?

6. Jelaskan macam-macam sudut !

7. Bagaimanakah konsep pencerminan itu ?

8. Jelaskan konsep rotasi !

1.3 Tujuan

1. Mahasiswa dapat memahami konsep titik dan garis

2. Mahasiswa mampu mendefinisikan bagian-bagian garis, seperti sinar garis

3. Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan konsep kesejajaran

4. Mahasiswa mampu memahami pengertian sudut beserta macam-macamnya

5. Mahasiswa dapat memahami pengertian pencerminan dan rotasi

6. Mahasiswa dapat menyelesaikan berbagai permasalahan mengenai geometri dan transformasi geometri.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK)

1. Memahami titik dan garis

2. Mampu mendefinisikan bagian-bagian garis, seperti sinar garis

3. Mampu memahami dan menjelaskan konsep kesejajaran

4. Mampu menjelaskan pengertian sudut beserta macam-macamnya

5. Memahami pengertian pencerminan dan rotasi

6. Memecahkan soal tentang geometri dan transformasi geometri

2.2 Uraian Materi

a a. Pengertian Titik, Garis, Sinar garis, dan kesejajaran

1) Titik

Dalam geometri, titik adalah konsep abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk, tidak mempunyai ukuran, tidak mempunyai berat, atau tidak mempunyai panjang, lebar, atau tinggi. Titik adalah ide atau gagasan abstrak yang hanya ada dalam benak orang yang memikirkannya. Untuk melukiskan atau menggambarkan titik diperlukan simbol atau model (sartininuhaaa). Gambar simbol atau model untuk titik digunakan noktah seperti di bawah ini :

• • •

Gambar atau model sebuah titik biasanya diberi nama. Nama untuk sebuah titik umumnya menggunakan huruf kapital yang diletakan dekat titik tersebut, misalnya seperti contoh di bawah ini adalah titik A, titik P, dan titik Z. (sartininuhaaa)

2) Garis

Garis adalah penghubung dua buah titik. Garis adalah kumpulan atau himpunan titik-titik yang teratur dan berkesinabungan.Mengambar model garis dapat dilakukan dengan membuat goresan alat tulis pada bidang tulis, kertas, atau papan tulis dengan bentuk yang lurus. Atau model garis dapat dibuat dengan menggambar bagian sisi benda yang lurus, misalnya menggambar salah satu sisi penggaris kayu. Berikut adalah model garis yang diperoleh dari hasil menggambar salah satu bagian sisi penggaris dengan memberi tanda anak panah pada kedua ujungnya yang menandakan bahwa garis tersebut memanjang kedua arah tidak mempunyai titik akhir. (sartininuhaaa)

Menamai sebuah garis dapat dilakukan dengan menggunakan dua cara. Pertama dengan sebuah hurup kecil pada salah satu ujung garis. Kedua menggunakan dua hurup besar yang diletakan pada dua titik pada garis tersebut. Di bawah ini adalah dua cara memberi nama terhadap garis.

Garis yang paling kiri adalah garis ℓ dan yang sebelah kanan adalah garis AB. Notasi menyatakan garis AB ditulis dengan AB. Garis disebut juga sebagai unsur geometri satu dimensi. Karena garis adalah konsep yang hanya memiliki unsur panjang saja (linier).

3) Sinar Garis

Sinar Garis adalah sebuah garis yang memiliki satu titik ujung dan ujung yang lain membentang tak terbatas.

Sinar AB, disimbolkan , memiliki titik pangkal A, tetapi tidak memiliki titik ujung. Begitu juga sebaliknya, Sinar BA, disimbolkan , memiliki titik pangkal B, tetapi tidak memiliki titik ujung. (darmayasa, 2015)

4) kesejajaran

Kesejajaran dua garis dapat juga jelaskan dengan konsep jarak. Dua garis sejajar akan mempertahankan jarak yang sama di sepanjang kedua garis tersebut, sehingga kedua garis tersebut tidak akan pernah bertemu (berpotongan).Dua garis sejajar bila kedua garis itu tidak memiliki titik potong. (Nisak, 2015)

Selain kesejajaran garis ada juga kedudukan garis yang lainnya yaitu:

1) Garis Berpotongan

dua buah garis dikatakan berpotongan apabila keduanya memiliki sebuah titik potong atau biasa disebut sebagai titik persekutuan.

2) Garis berhimpit

dua buah garis akan dikatakan berhimpit apabila kedua garis tersebut memiliki setidaknya dua titik potong. sebagai contoh jarum jam ketika menunjukkan pukul 12 pas. kedua jarum jam tersebut akan saling berhimpit.

3) Garis Bersilangan

dua buah garis dapat dikatakan bersilangan apabila keduanya tidak sejajar dan tidak berada pada satu bidang.

untuk memahami beragam kedudukan garis di atas perhatikan saja gambar berikut ini:

b. Pengertian Sudut

Sudut adalah suatu daerah yang dibentuk oleh dua buah ruas garis yang titik pangkalnya sama. Besar sudut pada lingkaran 360°. Besar sudut pada segitiga siku-siku 180°. Besar sudut pada persegi/segi empat 360°. Untuk mengukur sudut dapat digunakan busur derajat.

- Sinar garis BC dan BA membentuk sudut ABC (ÐABC) atau sudut CBA (ÐCBA)

- B - Sinar garis BC dan BA disebut kaki sudut

- B merupakan titik sudut

- Besar sudut tidak ditentukan oleh panjangnya kaki sudut.

Macam-macam Sudut:

1. Sudut lancip, yaitu sudut yang besarnya antara 0^o dan 90^o atau 0^o < x < 90^o, x adalah sudut lancip.

2. Sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya 90^o.

3. Sudut tumpul, yaitu sudut yang besarnya di antara 90^o dan 180^o atau 90^o < x < 180^o, x adalah sudut tumpul.

4. Sudut lurus, yaitu sudut yang besarnya 180^o.

5. Sudut refleks, Sudut yang besarnya antara 180^o dan 360^o, atau 180^o < x< 360^o

c c. Pengertian Pencerminan

Pencerminan dalam arti geometri dapat disebut juga dengan refleksi. Refleksi

adalah menggambarkan pencerminan cermin suatu bangun. Pencerminan itu dapat

diperoleh sebagai berikut :

1.Tentukan terlebih dahulu sumbu cerminnya atau sumbu simetri

2.Tarik garis tegak lurus pada sumbu cermin dari tiap-tiap sudut bangun (titik)
yang hendak dibuat pencerminannya.

3.Jarak antara titik sudut bangunan dengan titik sudut pencerminannya harus
sama terhadap sumbu simetri.

Dalam transformasi geometri khususnya pencerminan terdapat beberapa sifat-sifat yang selalu ditemukan. Adapun sifat tersebut adalah sebagai berikut (ayu, 2012):

1. Jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminan dengan cermin.

2. Garis yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak lurus dengan cermin.

3. Setiap garis dan pencerminannya selalu sama panjang

4. Setiap bangun dan pencerminannya selalu kongruen

Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1

Berikut adalah rumus pencerminan :

1) Pencerminan terhadap sumbu x

Matriks percerminan :

2) Pencerminan Terhadap sumbu y

Matriks Pencerminan:

3) Pencerminan terhadap garis y = x

Matriks Pencerminan

4) Pencerminan terhadap garis y = -x

Matriks Pencerminan:

5) Pencerminan terhadap garis x = h

Matriks Pencerminan:

Sehingga:

6) Pencerminan terhadap garis y=k

Matriks Pencerminan :

Sehingga:

7) Pencerminan terhadap titik asal O (0, 0)

Matriks Pencerminan :

Sehingga:

8) Pencerminan terhadap garis y = mx dimana m = tan q

d d. Pengetian Rotasi

Rotasi (Pemutaran) merupakan suatu transformasi yang memasangkan titik ke himpunan titik lainnya dengan cara memutar. Atau dengan kata lain rotasi adalah peristiwa memindahkan suatu objek (gambar) melalui garis lengkung dengan pusat pada titik tertentu dan dengan sudut putar tertentu dengan arah searah atau berlawanan arah jarum jam yang menyebabkan kedudukan gambar berubah.

Titik pusat rotasi adalah titik tetap atau titik pusat yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi. Titik pusat dapat berada di dalam, pada, atau di luar bangun geometri yang hendak dirotasi.

Arah rotasi disepakati dengan aturan bahwa jika perputaran berlawanan dengan arah jarum jam, maka rotasi bernilai positif, sedangkan jika perputaran searah jarum jam, maka rotasi bernilai negatif. Besarnya sudut putar rotasi menentukan jauhnya rotasi. Jauh rotasi dinyatakan dalam bilangan pecahan terhadap satu kali putaran penuh (360°) atau besar sudut dalam ukuran derajat atau radian.

Bayangan titik P (x,y) yang dirotasikan terhadap pusat O (0,0) sebesar θ adalah P’(x’ ,y’ ) dengan:

X’ = x cos θ – y sin θ

Y’ = x sin θ + y cos θ

Bayangan titik P (x,y) yang dirotasikan terhadap pusat A (a,b) sebesar θ adalah P’(x’ , y’) dengan:

X’ – a = (x-a) cos θ – (y-b) sin θ

Y’ – a = (x-a) sin θ + (y-b) cos θ

2.3 Kegiatan Belajar 1

a. Lima Soal dan Cara Penyelesaian Titik, Garis, Sinar Garis dan Kesejajaran

1. Ada berapa titik dalam gambar dibawah ini ? sebutkan!

Penjelasan: ada 4. Yaitu titik A , titik B, titik C dan titik D.

2. Perhatikan gambar dibawah ini !

Jika panjang AC adalah 4 cm dan panjang BC adalah 5cm, berapakah panjang AB ?

Penjelasan:

3. Perhatikan gambar dibawah ini !

Ada berapa sinar garis pada gambar diatas? Sebutkan!

Penjelasan : ada 2 yaitu

4. Tentukan Koordinat titik E, F dan G dari gambar berikut!

Penjelasan :

a) Koordinat titik E adalah (2,2)

b) Koordinat titik F adalah (-2,1), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik O sebanyak dua satuan lalu tegak keatas sebanyak satu satuan.

c) Koordinat titik G adalah (-3,-3), diperoleh dengan bergerak mendatar ke kiri dimulai dari titik O sebanyak tiga satuan lalu tegak ke bawah sebanyak tiga satuan.

5. Manakah yang merupakan garis sejajar dengan AB pada gambar dibawah ini!

Penjelasan: Garis-garis yang sejajar adalah dua garis yang sebidang dan tidak berpotongan. Jadi, garis yang sejajar dengan garis AB yaitu garis CD.

b. Rangkuman

Dalam geometri, titik adalah konsep abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk, tidak mempunyai ukuran, tidak mempunyai berat, atau tidak mempunyai panjang, lebar, atau tinggi. Garis adalah ide atau gagasan abstrak yang bentuknya lurus, memanjang ke dua arah, tidak terbatas atau tidak bertitik akhir, dan tidak tebal. Sinar garis adalah garis yg berpangkal di satu titik dan tak berujung. Sinar garis adalah separuh garis (halfline) sehingga sinar memiliki 1 arah. Garis-garis yang sejajar adalah dua garis yang sebidang dan tidak berpotongan.

c. Tes Formatif 1 (5 Soal Pilihan Ganda)

1. Dari gambar brikut yang merupakan titik berkordinat ( 1,-4) adalah...

A. V B. X C. R D. Q E. O

2. Dibawah ini yang merupakan garis lurus adalah....

A. D.

B. E.

3. Dari gambar dibawah ini yang merupakan sinar garis adalah ....

A. AC D. CAB

B. A E.

C. BC

4. Perhatikan gambar dibawah ini!

Manakah pernyataan berikut yang benar..

A. AB // BC D. FE// BF

B. AF//CD E. FG//CG

C. AD// EH

5. Misalkan garis n dan m terletak pada satu bidang. Jika n dan m tidak memiliki titik potong, dikatakan n.......................dengan m

A. Sejajar D. Bersilangan

B. Berimpit E. Berpotong.

C. Tegak lurus

2.4 Kegiatan Belajar 2

a. Lima Soal dan Cara Penyelesaian Sudut

1. Dari gambar berikut, berapakah besar sudut A?

Penjelasan:

Seperti yang kita ketahui bahwa jumlah seluruh sudut segitiga adalah 180 maka,

A + B+ C = 180

2x + x + 3x = 180

6x =180

x =

x = 30

maka besar sudut A adalah 2 x 30 = 60

2.Dari gambar berikut , berapakah besar sudut BAC?

Penjelasan: dari gambar diatas yang ditanyakan adalah besar sudut A , karena dilihat dari tanda di sudut A yang merupakan sudut siku-siku maka besar sudut A adalah 90

3.Berapakah besar sudut yang dibentuk pada jarum jam saat pukul 3 tepat?

Penjelasan: 90 , karena pada saat jam menunjukkan pukul 3 berarti ada jarak 3 langkah pula dari angka 12 ke angka 3, artinya 3x 30 =90

4.Perhatikan gambar dibawah ini !

Besar ∠ABD adalah ….

Penjelasan: Dalam hal ini ∠ABD dan ∠CBD merupakan sudut saling pelurus, maka:

∠ABD + ∠CBD = 180°

7x° + 5x° = 180°

12x° = 180°

x = 15°

∠ABD = 7x°

∠ABD = 7. 15°

∠ABD = 105°

Jadi, besar ∠ABD adalah 105°

5.Perhatikan gambar di bawah ini

Besar pelurus sudut SQR adalah …

Penjelasan: banyak yang mengira kalau soal tersebut menanyakan ∠SQR padahal yang diminta adalah ∠PQS. Untuk menPenjelasan soal ini hal pertama yang Anda cari adalah nilai x. Dalam hal ini ∠PQS dan ∠SQR merupakan sudut saling pelurus, maka:

∠PQS + ∠SQR = 180°

(5x)° + (4x+9)° = 180°

9x° + 9 = 180°

9x° = 171°

x° = 19°

Pelurus ∠SQR = ∠PQS

Pelurus ∠SQR = (5x)°

Pelurus ∠SQR = (5.19)°

Pelurus ∠SQR = 95°

b. Rangkuman

Sudut dalam geometri adalah besaran rotasi suatu ruas garis dari satu titik pangkalnya ke posisi yang lain. Selain itu, dalam bangun dua dimensi yang beraturan, sudut dapat pula diartikan sebagai ruang antara dua buah ruas garis lurus yang saling berpotongan. Besar sudut pada lingkaran 360°. Besar sudut pada segitiga siku-siku 180°. Besar sudut pada persegi/segi empat 360°.

Macam-macam sudut adalah sudut lancip, sudut siku-siku, sudut tumpul, sudut lurus, sudut lingkaran penuh.

c. Tes Formatif 2 (5 Soal Pilihan Ganda)

1. Perhatikan gambar berikut

Besar sudut nomor 1 adalah 95°, dan besar sudut nomor 2 adalah 110°. Besar sudut nomor 3 adalah ….

A. 5°

B. 15°

C. 25°

D. 35°

E. 80°

2. Perhatikan gambar dibawah ini

Besar ∠BCA adalah ….

A. 70° B. 100° C. 110° D. 154° E.134°

3. Perhatikan gambar berikut!

Besar ∠P3 adalah ….

A. 37°

B. 74°

C. 106°

D. 148°

E. 90°

4. Perhatikan gambar berikut!

Besar pelurus sudut KLN adalah ….

A. 31° B. 72° C. 85° D. 155° E. 139°

5. Sudut yang dibentuk oleh kompas antara arah utara dan barat disebut sudut...

A. Pelurus D.Tumpul

B.Siku-siku E.Refleksi

C. Lancip

2.5 Kegiatan Belajar 3

a. Lima Soal dan Cara Penyelesaian pencerminan

1. Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan hasil pencerminan titik A terhadap garis y = x !

Penjelasan:

y = x

(a, b) ----------> ( b, a)

y = x

(3, 5) ----------> (5, 3)

2. Titik B memiliki koordinat (2, 1). Tentukan hasil pencerminan titik B terhadap garis y = -x !

Penjelasan:

y = x

(a, b) ----------> ( -b, -a)

y = x

(2, 1) ----------> (-1, -2)

3. Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks

dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah....

Penjelasan:

Titik A, dengan transformasi matriks

akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:

Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'' dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.

Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6)

4. Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A terhadap garis x = 10 !

Penjelasan:

Terhadap garis x = 10

x = h

(a, b) ----------> (2h − a, b)

x = h

(3, 5) ----------> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5)

5. Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A terhadap garis y = 8 !

Penjelasan:

Terhadap garis y = 8

y = k

(a, b) ----------> (a, 2k − b)

y = k

(3, 5) ----------> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11)

b. Rangkuman

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titi pada bidang dengan sifat pencerminan.

c. Tes Formatif 3 (5 Soal Pilihan Ganda)

1. Bayangan titik (-5,10) dicerminkan terhadap garis y = -x adalah ...

A. (10,5) D. (5,10)

B. (5,-10) E.(-10,-5)

C. (-10,5)

2. Bayangan titik (-3,5) ditranslasikan sejauh kemudian dicerminkan terhadap garis y= -x adalah...

A. (0,3) D. (-3,0)

B. (3,0) E. (3,-3)

C. (0,-3)

3. Bayangan kurva y= x + 1 jika di transformasikan oleh matriks kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....
A. x + y − 3 = 0

B. x − y − 3 = 0

C. x + y + 3 = 0

D. 3x + y + 1 = 0

E. x + 3y + 1 = 0

4. Bayangan garis y= 2x +2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah...

A. y = x + 1 C. y = -1 E. y =

B. y = x -1 D. y = + 1

5. Titik A( dicerminkan terhadap garis menghasilkan bayangan titik A’(0,2), maka nilai ( adalah….

a. (2,4) c. (4,2) e. (1,2)

b. (1,4) d. (4,1)

2.6 Kegiatan Belajar 4

a. Lima Soal dan Cara Penyelesaian rotasi

1. Persamaan bayangan parabola y = +4 karena rotasi dengan pusat O (0,0) sejauh 180 adalah ...

Penyelesaian:

2. Tentukan bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi R(O, -90)!

Penyelesaian:

(x, y) ó (y, -x)

x’ = y , y’ = -x

x’ = 5(-y’) + 4

x’ + 5y’ – 4 = 0 Jadi bayangan x + 5y – 4 = 0

3. Persamaan garis 2x+y+3=0 dirotasikan dengan pusat (0,0) sebesar 90 derajat. Tentukan persamaan bayangannya!

Penyelesaian :

4. Titik P (6 , 10 ) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'.

Penyelesaian :

Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α

Sehingga:

5. Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P(-1, 2)!

Penyelesaian:

b. Rangkuman

Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu

c. Tes Formatif 4 (5 Soal Pilihan Ganda)

1. hasil dari perputaran titik (1,2) dengan titik pusat (2,-5) di putar sebesar 180 drajat adalah...

A. (3,-12) D. (1,5)

B. ( 1,5) E. (4,2)

C. (3,2)

2. hasil dari perputaran titik (1,2) dengan titik pusat (0,0) di putar sebesar 360 drajat adalah...

A. (1 , 2 ) D. (2,1)

B. (0,0) E. (2,0)

C. (3,0)

3. Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P(-1, 2)!

A. (8, 4) C. (8, -4) E. (5,2)

B. (-8, 4) D. (4, 8)

4. Vektor diputar terhadap titik asal O sebesar searah jarum jam. Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis , menghasilkan vektor . Jika , maka matriks = …

5. Segitiga ABC memiliki koordinat A(2,-3), B(1,4), dan C(-3,2). Koordinat bayangan dari titik C sudut tersebut jika segitiga ABC dirotasikan dengan pusat O(0,0) dan sudut putar -270° adalah ...

A. (3,2) D.(3,1)

B.(-4,1) E.(4,-1)

C.(-2,-3)

2.7 Kunci Jawaban Tes Formatif 1, 2, 3 dan 4

No	Tes formatif 1	No	Tes formatif 2	No	Tes formatif 3	No	Tes formatif 4
1.	B	1.	B	1.	C	1.	A
2.	D	2.	C	2.	D	2.	A
3.	A	3.	C	3.	E	3.	A
4.	C	4.	B	4.	C	4.	B
5.	A	5.	B	5.	C	5.	C

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dalam geometri, titik adalah konsep abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk, tidak mempunyai ukuran, tidak mempunyai berat, atau tidak mempunyai panjang, lebar, atau tinggi. Garis adalah ide atau gagasan abstrak yang bentuknya lurus, memanjang ke dua arah, tidak terbatas atau tidak bertitik akhir, dan tidak tebal. Sinar garis adalah garis yg berpangkal di satu titik dan tak berujung. Sinar garis adalah separuh garis (halfline) sehingga sinar memiliki 1 arah. Garis-garis yang sejajar adalah dua garis yang sebidang dan tidak berpotongan.

Sifat sudut yaitu Sudut satuan mempunyai ukuran satu derajat (1⁰), meskipun ada juga satuan lain yang digunakan, yaitu radian dan gradient, Sudut siku-siku mempunyai ukuran sembilan puluh derajat (90⁰), Dua sudut yang kongruen mempunyai ukuran yang sama.Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titi pada bidang dengan sifat pencerminan.Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu.

3.2 Saran

Saran yang dapat penulis berikan sehubungan dengan hasil pembahasan ini adalah Sebaiknya kita pahami dengan baik tentang konsep-konsep matematika , terutama mengenai geometri dan geometri transformasi.

DAFTAR ISI

ayu, R. (2012, November 03 ). Transformasi Geometri Matematika . Dipetik oktober 23, 2016, dari Rosita Ayu R: http://rositayu1.blogspot.co.id/2012/11/transformasi-geometri-matematika.html

darmayasa, P. (2015, desember 02). Konsep Titik, Garis, dan Bidang : Materi SMP. Dipetik oktober 23, 2016, dari Konsep Matematika (KoMa): http://www.konsep-matematika.com/2015/12/konsep-titik-garis-dan-bidang-materi-smp.html

kodok, K. (t.thn.). GARIS . Dipetik Mei 10 , 2014, dari Materi Kuliah Ku : http://materikuliahku-calonguru.blogspot.co.id/2014/05/garis.html

Nisak, K. (2015, Februari 22). kesejajaran, sudut yang berelasi dan perbandingan proposional . Dipetik okteber 24, 2016, dari terbaru 2015: http://wwwkhoirunnisak.blogspot.co.id/2015/02/kesejajaran-sudut-yang-berelasi-dan.html

Pengertian Sudut dan Macam-macam Jenis Sudut beserta Contohnya . (2016, april 11). Dipetik oktober 23, 2016, dari Berpendidikan: http://www.berpendidikan.com/2016/04/pengertian-sudut-dan-macam-macam-jenis-sudut-beserta-contohnya.html

sartininuhaaa. (t.thn.). Titik, Garis, dan Bidang. Dipetik oktober 21, 2016, dari Dimensi tiga: https://sartininuhaaa.wordpress.com/titik-garis-dan-bidang/

Belajar Bareng Nabil

Selasa, 25 Oktober 2016

makalah geometri dan transformasi geometri

1.3 Tujuan

BAB II

PEMBAHASAN

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Arsip Blog